Matematiksel Karadelikler

MATEMATİKSEL KARADELİKLERİ KEŞFETMEYE HAZIR MISINIZ?

“EVRENDEKİ KARADELİKLERİ HEPİMİZ DUYMUŞUZDUR. PEKİ YA MATEMATİKTE DE KARADELİK VAR DESEK NE DÜŞÜNÜRDÜNÜZ?”

Matematikte sayıların oluşturduğu kurallar neticesinde belirli bir tekrara düşen örüntülere “karadelik” denir. Matematiksel olarak ne ifade etmek istediğimizi anlatmadan önce size çok kısa bir hikaye anlatalım. Yunan Mitolojik kahramanlarından Sisypus, çok büyük bir taşı dağın tepesine koymak için görevlendirilmiş. Ama Sisypus taşı hiçbir zaman dağın tepesine koyamamış. Her seferinde çıkardığı taş elinden kayıyor ve tekrar aşağıya inip taşı alıp çıkarmaya çalışıyormuş. Hayatını bu taşı oraya koymaya adayan Sisypus, bir döngü biçimine girmiş ve tüm hayatını o tepede geçirmiştir.

İşte matematik dünyasında da bu döngüye benzer olaylar insanları hayrete düşürmektedir. Yıllarca bu konular üstünde çalışan matematikçiler “karadelik” diye adlandırdıkları ilginç matematiksel ifadeleri tanımladılar. Hadi şimdi kemerlerinizi bağlayın ve karadeliğin içine girmeye hazırlanın.

Boş kağıtlarınızı hazırlayın. Çok basit işlemler yapacağız. Kağıdınıza herhangi bir sayı yazın. Evet evet rastgele bir sayı olsun. Örneğin; 9288759 sayısını seçmiş olalım. Yapacağımız şey çok basit. Bu gördüğümüz sayıda kaç tane tek, kaç tane çift sayı olduğunu bulup bir de toplam kaç rakamdan oluştuğunu yazmamız gerekiyor. Yani bu sayıda (2,8,8) olmak üzere 3 tane çift, (9,7,5,9) olmak üzere 4 tane tek sayı bir de toplam 7 rakamdan oluştuğunu yazalım. Yeni sayımız çift rakamlar sayısı – tek rakamlar sayısı – toplam rakam sayısı olacak şekilde türetilecek. Dolayısıyla yeni sayımız kaç oldu arkadaşlar? 347 değil mi? Evet. Aynı işlemi tekrar uyguluyoruz. 347 sayısında 1 tane çift 2 tane tek ve toplam 3 rakamdan oluşuyor. Yine aynı formatta (çift-tek-toplam) olacak şekilde sayımızı yazdığımızda 123 sayısını elde ederiz. 123 sayısı ile devam edersek yine 123 sayısını elde ederiz ve bundan sonra uyguladığımız kural ile sonuç hep 123 sayısı olur. Geçmiş olsun karadeliktesiniz! Biz matematikçiler bu karadeliğe “Sisypus karadeliği” diyoruz. Aynı tepeye koyamadığı taş gibi döngü içindeyiz.

“Her şey güzel ama bu yaptığımız tüm sayılar için geçerli mi?” gibi bir soru gelebilir. Yine rastgele bir sayı alalım. 122333444455555666666777777788888999999999 gibi devasa bir sayı alalım. Şimdi aynı şekilde bu sayının içindeki çift sayılara – tek sayılara – toplam rakamlara bakalım. 20 tane çift sayı, 25 tane tek sayı ve toplam 45 sayıdan oluşuyor. Sıramızı bozmadan bu sayımızı kağıdımıza yazalım. Yeni oluşan sayımız 202545. Şimdi bu sayıda kaç tane çift kaç tane tek sayı olduğunu ve toplam kaç rakamdan oluştuğuna bakalım. 4 çift, 2 tek ve 6 rakamdan oluşan bir sayı. Dolayısıyla sizlerin de hemen tahmin ettiği üzere yeni sayımız 426 oldu. Bu sayıyı incelediğimizde 1 çift 2 tek ve toplam 3 rakamdan oluşuyor. Yeni sayımız 123 oldu ve karadeliğe tekrar hoş geldiniz. Devam ettiğiniz takdirde elde ettiğiniz yine 123 sayısı olacaktır. Göze güzel geliyor değil mi?

Büyülendiniz mi? Hemen büyülenmeyin! Şimdi çok garip bir karadeliğin içerisine gireceğiz. Martin Gardner’ı hiç duydunuz mu? Kendisi matematiksel karadelikler ile ilgilenen önemli bir matematikçidir. Kendi adıyla anılan “Gardner Karadeliği” ingiliz dili ve matematik arasında çok önemli geçiş sağlayan bir matematiksel karadeliktir. İsterseniz şu güzelliğe bir bakalım. Şimdi sizden bir sayı seçmenizi istiyoruz. Mesela seçtiğiniz sayı 5 olsun. İngilizcede 5 nasıl ifade ediliyor? “Five”. Peki bu kelime kaç harfli? Saydığınızda 4 olacak. Devam ediyorsunuz. 4 sayısı İngilizcede “four” olarak yazılır. Peki kaç harfli? 4 değil mi? Bundan sonra yaptığınız tüm adımlarda 4 karadeliğine düşeceksiniz. Başka bir örneğe bakalım. Rastgele yine bir sayı seçelim. 163 olsun mu? 163 sayısı İngilizcede “One hundred sixty three” şeklinde yazılır. Toplam 20 harften oluşuyor. 20 sayısı ise İngilizcede “Twenty” şeklinde yazılır. Bu kelimede ise 6 rakam vardır. 6 ise “six” olarak ifade edilir. Toplam 3 harften oluşan bu kelimede ise yapacağımız şey 3 sayısının İngilizce karşılığını yazmak. 3 ise “Three” olarak ifade edilir. Toplam 5 rakamdan oluşuyor. 5 ise “five olarak ifade edilir. “five” kelimesi 4 harften oluşmakta ve 4 rakamı “four” olarak yazılır. Yine bir karadelik hem de sonsuza dek... Anlaşılmayan bir şey var mı? Genel olarak sayıyı yazıyoruz daha sonra İngilizce karşılığındaki harflerin sayısını hesaplıyoruz. Ardından bulduğunuz sayıyı yazıyorsunuz ve aynı işlemlere devam ediyorsunuz. Heyecanlandık gerçekten...