Verhulst x Malthus

David Wells: Geometrinin Gizli Dünyası, s: 325: “ Verhulst Denklemi: Verhulst, nüfus çalışmalarında bir öncüdür. 1838’ de şu yasayı yayınladı: Malthus’ un karamsar tahminlerinin tersine, nüfus hiç durmadan artamaz, çünkü nüfusun artışını engelleyen etkenler, nüfusun kendisinden daha hızlı artar.

Verhulst denklemi şöyledir: x(n) + 1 = r.x(n). (1-x(n)). Bu denklemin değeri ‘ r ’ ye bağlıdır. ‘ r < 2="" ’="" ise,="" sistem="" hızla="" kararlı="" bir="" durum="" alır="" (yani="" ne="" büyür,="" ne="" küçülür).="" ‘="" 2="">< r="">< 2,5="" ’="" ise,="" nüfus="" iki="" değer="" arasında="" gidip="" gelir,="" buna="" ‘="" çözümün="" çatallanması="" ’="">

‘ r ’ , 2,5’ un biraz üstüne çıkarsa, çözüm yine çatallanır, sonra yine çatallanır, böylece 8 değer, sonra 16 değer arasında gidip gelir. Bu çatallanmalar, giderek birbirine yaklaşır, sonunda ‘ r ’ yaklaşık 2,57 olunca çatallanma sayısı sonsuza erişir ve çözüm kaotik bir durum alır.

Kaos oluşunca, noktalar ritm veya neden olmadan yüzeysel olarak sıçramaya başlar. Ya hiçbir periyot yoktur, ya da çok yüksek periyotlar vardır. Ne var ki bu kaotik davranış, belli bir yapıya sahiptir. Bölgenin içinde dikey bantlar vardır, daha önceki dış sınırlar onları çaprazlar. ‘r = 2,837’ olunca, Verhulst biçimi daha küçük olarak yeniden belirir.

Sonlu bir aralıkta sonsuz çatallanmalar görülebilmesi için, birbirini izleyen çatallanmalar arasındaki uzaklıklar büyük bir hızla küçülmelidir. Böyle de olur. Bu uzaklıklar arasındaki oran, bulanın adına atfen, ‘Feigenbaum sayısı’ denen bir limite gider. Bu sayı, yaklaşık ‘4,6692016609’dur.”

Malthus, eserini 1790’da yayınladı. Sömürüyü rasyonalize etmek için (kendisi bu eser için bir krallıktan ödül aldı), nüfusun kaynaklardan daha hızlı artacağını öne sürdü ama hiçbir dayanak göstermedi. İronik olarak Marx, devrimi rasyonalize etmek için Malthus’u kaynak gösterdi ama Verhulst’un adını anmadı. Verhulst eserini 1830'da yayınladı. Marx ise çok daha sonra yayınlandı.

(Marx’ı bilimsel sayma gafleti gösterenler için ek: Marx; yaşadığı dönemde bilinen sanal sayıları da, Euclid dışı geometrileri de, Aristo dışı mantıkları da, Newton dışı fizikleri de anmadı. Bilimi Engels’e bıraktı. Henri Le Febvre’in saptamasıyla, Engels’in ‘wissenschaft’ı o zamanki Almanca’da şimdiki ‘bilim’ anlamına gelmiyordu.)

Bugün bilim, Verhulst’u doğruluyor: İnsan türü, bir milyon yılda yalnızca 3 kez nüfus patlaması yaşadı: Afrika savanlarından dünyaya yayıldığı dönemde, 11.000 yıl önceki Neolitik Devrim döneminde ve 1750’de başlayıp 2125 civarında limite varacak olan 1. ve 2. Sanayileşme döneminde. Sonuncusu ilginç: Evrimde ve tarihte ilk kez insan türü, gönüllü olarak nüfus artışını durdurdu.