- Kategori
- Matematik
Bütün - parça ilintisi olarak geometrik boyutluluk
Aristo Mantığı üzerine dayalı olarak kurulu olan Euclid Geometrisi’nin örtük varsayımları vardır. Bunlardan biri de, boyutun tekli, sürekli, tersinmez, homojen olmasıdır. (Kendisi, bunu yaratıldığı zaman önesürmez, biz onun diğer koyutlarından bunu çıkarsarız.)
Bu konular, ‘Doğrusal Olan ve Olmayan Zaman / Mekan Neden-Sonuç İlintileri’ metinlerinde irdelendi.Burada, düzlem geometrideki boyutun tekli olmaması durumunun özel bir hali irdelenecek.
Düzlem, kabul edildiği üzere 2 boyutludur. Ancak, resimlerdeki 4. biçimin boyutu 2 küsurdur: Bu biçim, bir eşkenar üçgenden başlayarak limit sonsuz adımda elde edilir.Buna ‘fraktal geometri’ deniyor. ‘Kırınım Geometrisi’ de, ‘küsurat Geometrisi’ de denebilir. Böylesi biçimlerin boyutu da şöyle hesaplanıyor: İlk adımda, eşkenar üçgenin kenarlarını 3 eşit parçaya bölüp, bunların sayısını 4’e çıkarıyoruz. Bu durumda, bu çizginin boyutu = log 4 / log 3 = 1, 26 ... Biçimin boyutu ise 2, 26 ...
(http://www.hinsdale86.org/staff/rcazzato/honors_precalculus/project/Period%2010/MY%20Koch%20Snowflake2.ppt#278, 19, Dimension of Koch Snowflake)
Sonul biçimin alanı sonluyken, çevresi sonsuz uzunluktadır. Olağan Euclid Geometrisi biçimlerinde ise, alanı sonlu olanların çevreleri de sonlu olmaktadır.Burada ikilem gibi görünen ayrım-durum bütün-parça ilintisindedir:
İlk biçimden son biçime giderken yapılan sonsuz iterasyonlarda, alan artışları sıfıra limitlenirken, çevre artışları hep sabit bir miktarda sonsuz kez olmaktadır.
Sonsuz öğeli / parçalı diziler / bütünler sonlu büyüklükte olabilmekte. O nedenle alan, sonsuz öğeli iken, sonlu toplamlı kalmakta.
(Benzer biçimde, limit sonsuz sayıda parçalı Samanyolu Gökadası da, 3 küsur boyutlu sayılmakta.)
Olağan Euclid Geometrisi’ne uygun biçimlerde, çevre 2 katı olunca, alan onun 2 karesi, yani 4 katı olmakta. Çevre sonsuz kata çıkınca, alanın da sonsuz kata çıkması gerekirdi ama çıkmıyor.
Bir de, çevre bütününü yaratan parçaları 4/3 katı yapınca, çevre sonsuz kat büyümekte.
Her 2 durumda da, bütünün parçaların toplamına eşit olması koşulu bozuluyor.
Ayrıca burada, epistemeloji tarihi açısından ilginç bir nokta var:
İsrail yıldızı (iterasyonun 2. adımındaki biçimin dinsel simge adı) geometrik biçim olarak binlerce yıldır biliniyor ama kimsenin aklına ona yeni ve küçük parçalar eklemek ve Koch Adası’nı yaratmak gelmemiş. Gelseydi, en azından matematik tarihine girmiş olan matematikçilerin aklına gelmiş olsaydı, yazılı olarak kayıtlı olurdu. Rakamların tarihini yazan Georges İffrah’nın eserine bakınca, buna kolayca ikna olursunuz.
Tarihe saygı görevimizi yerine getirelim:
Birçok yerde ve kez yanlış adlar belirtilmiştir ama fraktal matematiğin babası 1830 tarihli eserinde Malthus’un yanlışlığını kanıtlayan Verhulst’tur.
Dönelim Euclid Geometrisi’ne:
Matematik ve mantık birer öte söz-dilidir. Geometri, matematiğin dalları içinde, görselliğe dayalı diliyle özgün bir yer tutar ama onunki de bir dildir sonuçta. Tüm diller koyutsaldır ve soyutlamadır, diğer bir deyişle doğal dil ve anadili yoktur. Aynı zamanda tüm koyutlar ikame edilebilir ve yeni bir biçimde ifade edilebilir.
Biz, Euclid Geometrisi’nin boyutlarının tekli, sürekli, tersinmez, homojen olmasını varsaydığımızda da böyledir. Bunlar, başka bir biçimde yeniden denklemlenebilir veya sözü geçen metinlerde açımlandığı üzere, değiştirilebilir / ikame edilebilir.
Daha önceki metinlerimizde kezlerce belirttik ama bir kez daha yineleyelim: Dünya’nın coğrafya atlası tamamlandı ama insanın düşünce atlası henüz tamamlanmadı, matematik dili de henüz sonul aşamasına gelmedi. Daha eksik alanları var ve tam iç-tasnif yapılmadı.
Euclid Geometrisi’ni bütün-parça ilintisi açısından yeniden söylemlemek bu arayışların bir parçasıdır. Bütüne varıldığını görmeye sanırım benim ömrüm yetmeyecek.
- Toplam blog
- : 2216
- : 514
- Kayıt tarihi
- : 16.08.06
Serbest yazarım. 1960 doğumluyum. BÜ İşletme mezunuyum. ..