Göreli Performans Ölçümlemede Standart Sapma kullanımı

Öğrenciler ve matematikle pek arası olmayan yetişkinler arasında yaygın bir soru vardır "bunlar gerçek hayatta ne işimize yarayacak?". Maalesef ülkemizde teori ağırlıklı verilen matematik eğitimi, aynı zamanda bunların pratik kullanımları ile pekiştirilmediği için, insanlar böyle bir izlenime kapılabilmektedir. Halbuki, aritmetik ve özellikle üniversite seviyesinde verilen cebir ve kalkulus dersleri aslında pratik problemlere çözüm üretebilmek amacıyla geliştirilmiştir.

Bu konuyu oldukça farklı örneklerle kapsamlı olarak incelemek mümkündür, bu alanda yazılmış çok sayıda döküman da bulunmaktadır. Ben bu yazımda, özellikle yöneticilerin ve eğitmenlerin sıklıkla karşılaştığı göreli (yani öğrenci ve/veya çalışanların birbirlerine kıyaslamalı) performans değerlendirmelerinde Standart Sapma (Standard Deviation - SD) yönteminin etkin olarak kullanılabileceğini kısaca açıklamaya çalışacağım. Bu matematiksel yöntem, istatistikçiler ve finansçılar tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır, ancak burada, ileri derecede matematik bilmeye gerek olmaksızın, çağımızın mevcut teknolojik imkanlarını kullanarak herkesin etkin değerlendirme yapabileceğini göstermek niyetindeyim. Bu yazıda herhangi bir matematiksel savım var olmayıp, tamamen çok bilinen yöntemin bir hatırlatması olarak paylaşmaktayım.

Öncelikle Standart Sapma nedir, onu tanımlayalım. Standart sapma, bir örnek grubu içerisinde yer alan değerlerin, grup ortalamasına göre farklarını gösteren bir değerdir. Standard sapmanın büyük olması, değerlerin ortalamadan çok yüksek veya düşük olacak şekilde dağıldığını, yani tavan ve taban birim örnekleri arasındaki farkın yüksek olduğunu,  standart sapmanın düşük olması ise, ortalamaya olan mesafenin kısa olduğunu, birim örneklerin birbirine yakın değerlerde dağıldığını gösterir.

Standart sapma, varyansın kare kök değeri olarak hesaplanır. Varyans ise, her bir birimin ortalama değere göre olan farklarının karelerinin ortalamasıdır. Burada birimlerin önce karelerinin alınıp (varyans hesaplaması), sonra köklerinin alınmasının nedeni (standart sapma hesaplaması), ortalama değer hesaplanırken, pozitif ve negatiflerin birbirini götürmesini engellemektir (sonuçta elde etmeye çalıştığımız bir dağılım mesafe değeridir).

Bu konunun pratik uygulamasına aslında üniversite eğitimi almış olanlar çok uzak sayılmaz. Zira, çan eğrisi olarak tanımlanan dağılım yönteminin kullanıldığı ölçümlemelerde genellikle standart sapma yöntemi kullanılır. Sabit değerleme yerine standart değerleme kullanılmasının avantajı, yapılan tüm ölçme değerlendirme aktivitelerinde, belirli bir zorluk derecesinin tutturulmasına gerek olmaması, ortalama performansa dayalı olarak her seferinde yeni bir puanlama sisteminin kullanılabilir ve bunların birbiriyle kıyaslanabilir nitelikte olmasıdır.

Eğer dağılımını hesaplamak istediğimiz örneklemdeki, tüm birimler biliniyor ise, Popülasyon Standart Sapması kullanılır (eğer tüm birimler bilinmiyor ve büyük bir eleman havuzundan alınmış az sayıdaki örnek ile grubun tamamı için kestirim yapmak isteniyorsa, aşağıdaki formülde toplam değer sayısı yerine "n" yerine "n-1" kullanılır). Popülasyon standart sapması aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

 S -> Standart sapma
 X -> Birim değer
 M -> Ortalama değer (aritmetik ortalama)
 n -> Toplam değer sayısı

s = ? [(?[X-M]2)/n

Formulun daha okunur hali icin resme bakiniz.

Standart sapma elde edildikten sonra yapılması gereken ise, normalizasyon amacıyla bir standart değer üretmektir. Örneklemin tüm popülasyonu içerdiği durumlarda, standart değer şu şekilde elde edilir:

 z = (X-M) / s

Eğer, incelenen birim, ortalamanın altında ise, "z" negatif, üzerinde ise, "z" pozitif bir değer olarak karşımıza çıkacaktır. Standart değer elde edildikten sonra ise bu değeri istenen bir normalizasyon formülünde kullanmak mümkündür. Örneğin, tam ortalamada puan alan bir öğrencinin "3" notunu alması isteniyorsa, z+3 ya da (z/2)+3 tarzı bir normalizasyon formülü uygulanabilir. İkisi arasındaki fark, ortalamanın üzerindekilerin ilk formülde yüksek sonuçlara ulaşması, ancak aynı zamanda ortalamanın altındakilerin de ciddi oranda negatif etkilenmeleridir. Onun için, özellikle iş dünyasında, bireyler arası rekabetin yıkıcı seviyeye ulaşmaması için, genelde etkiyi hafifletecek şekilde Z'nin belli bir oranının normalizasyonda kullanılması makul olacaktır.

Varsayalım ki, belli sayıda çağrı merkezi çalışanından oluşan bir şirketimiz olsun. Bu çalışanların performanslarını değerlendirirken, dönemsel olarak yüksek sayıda ya da az sayıda çağrı gelmesinden bağımsız olarak (ki bu da Poisson dağılımları kullanılarak da kestirilebilmektedir ki, bu yazımızda ona değinmeyeceğim), ortalama alınan çağrıya göre uygun primleme yapmak istemekteyiz. Bu durumda standart sapma kullanımı bize uygun bir ölçümleme imkanı sunacaktır.

Küçük bir örneklem kullanarak somut olarak inceleyelim. Diyelim ki, çağrı merkezimizde çalışan 5 kişi, sırasıyla şu sayıda çağrı cevaplamıştır;

320, 240, 210, 175, 115.

Bu durumda: M= 212
ve s= 68.16 olarak hesaplanmaktadır.

Herhangi bir birimin performansını ölçmek istersek (diyelim ki 175 olan birim için);

z= (175-212) / 68.16 = -(0.54)

Görüldüğü üzere, negatif bir standart değer elde edildi, yani bu çalışan, ortalamanın altında bir puan elde etmiş ve buna göre değerleme yapılacaktır. Diyelim ki, performans (p) değeri (ya da prim oranı, başarı oranı vs.) ortalamada yer alan "3" puan alacak şekilde dağılan bir formülde kullanılırsa:

 p= (Z/2) + 3 = -(0.27) + 3 = 2.73 -> bu çalışanın performans değeri olarak karşımıza çıkar.

İşin güzel yanı, bu sistemi uygulayabilmek için, yöntemin genel prensibini anlayabilmek dışında herhangi bir matematiksel birikim gerekmemektedir. Microsoft Excel içerisinde yer alan "stdev.p" formülü ile kolaylıkla hesaplama yapılabilmektedir. Aynı zamanda Internet üzerinde çok sayıda ücretsiz standart sapma hesaplayıcısı mevcuttur.

Ben kendi tecrübemde bu sistemi çeşitli vesilelerle, çalışanlarımın somut ve rakamsal değeri olan işlerinin etkin ve adil bir değerlemesi amacıyla performans analizinde kullanmaktayım. Çalışanlar tarafından ilk bakışta anlaşılması zor gibi görünebilecek bu sistem aslında, kendi içinde aşırılıkları törpüleyen bir niteliğe sahip olup, rekabeti ve birey performansını arttırmakla birlikte, tamamen şahsi performansa dayalı bireyciliğin de önüne geçmekte ve ilginç bir şekilde çalışanlar arasında işbirliğini de geliştirmektedir. Zira, tavan skorun belli bir limitinin olduğu durumlarda, bir çalışanın grubun genelinden çok uzaklaşan bir tavan skora sahip olduğu durumda, standart sapma arttığı için, aslında bu çalışanın yüksek puan alma şansı da azalmaktadır. Bu da, grup içerisinde işbirliği ile, çok düşük performansta olanların grubun geneline yaklaştırılması için bir olumlu yönelime neden olmakta, böylece ekip performansının genelinin artması sağlanmaktadır.

Geçmiş iş tecrübelerim boyunca, bu tip durumlarda nesnel hesaplamalara dayanmayan gözlemsel ve hissi değerlemenin yapıldığına ya da en iyi ihtimalle aritmetik yöntemlerin kullanıldığına tanık olan biri olarak, matematiğin, güncel pratik problemleri çözmek için kullanımına küçük bir örnek vermek istedim. Matematiğin sonsuz rakamsal evreninde (ki birçoğu yüzyıllar önce bulunmuş) nice çözümler bizim onları kullanmamızı beklemektedir. Yeter ki farklı bakış açıları geliştirebilelim.